ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65673
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Васе задали на дом уравнение  x² + p1x + q1 = 0,  где p1 и q1 – целые числа. Он нашел его корни p2 и q2 и написал новое уравнение  x² + p2x + q2 = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?


Решение

  Пятое уравнение с целыми коэффициентами не должно иметь различных вещественных корней. Значит, если его коэффициенты обозначить через p5 и q5, то    и    Оба числа положительны, и при этом, возводя в квадрат первое неравенство и подставляя условие из второго, получаем    Отсюда оба числа меньше 5, и перебором находим единственную подходящую пару: 1 и 2.
  Найденные коэффициенты пятого уравнения являются корнями четвёртого; по теореме Виета находим само четвёртое уравнение:  x² – 3x + 2 = 0.  Продолжая применять теорему Виета, последовательно находим третье, второе и, наконец, первое уравнения:  x² + x – 6 = 0,  x² + 5x – 6 = 0,
x² + x – 30 = 0.


Ответ

x² + x – 30 = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .