ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65679
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Уравнение с целыми коэффициентами  x4 + ax³ + bx² + cx + d = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.
Найдите наименьшее возможное значение коэффициента b при этих условиях.


Решение

Пусть x1, x2, x3, x4 – корни уравнения (возможно, некоторые из них совпадают). По теореме Виета  b = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4,
d = x1x2x3x4,  а значит, b и d положительны. Заметим, что
  2 + 2 + 2   (неравенство Кощи). Поэтому  b ≥ 6  (d – целое, значит,  d ≥ 1).  Равенство достигается в случае, когда уравнение имеет четыре кратных корня, равных 1. В этом случае многочлен имеет вид
(x – 1)4 = x4 – 4x3 + 6x² – 4x + 1.


Ответ

b = 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .