|
|
 |
Условие
Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
а) меньше 4/5;
б) меньше 4/7?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
Решение
а) Выберем в кубе три ребра, имеющих общую вершину. Проведём первые две плоскости перпендикулярно первому ребру так, чтобы оно делилось этими плоскостями на три равные части. Третью плоскость проведём перпендикулярно второму ребру через его середину. Четвёртую плоскость проведём перпендикулярно третьему ребру через его середину. Тогда куб разрежется на 12 одинаковых прямоугольных параллелепипедов со сторонами ⅓, ½ и ½, как показано на рисунке. Расстояние между любыми двумя точками прямоугольного параллелепипеда не превосходит его диагонали. Длины диагоналей всех 12 частей, на которые разрезан куб, равны < 4/5 (11·25 = 275 < 288 = 16·18, значит, 11/18 < 16/25).
Предположим, что куб разрезан на части какими-нибудь четырьмя плоскостями. Нетрудно видеть, что три плоскости разрезают куб не более чем на 8 частей. При этом четвертая плоскость может разрезать каждую из этих частей не более чем на две новые части. Следовательно, четыре плоскости могут разрезать куб не более чем на 16 частей. (На самом деле таких частей может быть не более 15.) Значит, какие-нибудь две чёрные вершины попадут в одну из частей. Поэтому при любом разрезании единичного куба четырьмя плоскостями найдётся такая часть и такие две её точки, что расстояние между этими точками больше 4/7.
