ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65688
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.


Решение

Если квадрат некоторого натурального числа n оканчивается на 2016, то  n² = 10000k + 2016  при некотором натуральном k. Тогда
n² – 16 = (n – 4)(n + 4) = 10000k + 2000 = 24· 5³(5k + 1).  Числа  n – 4  и  n + 4  не могут одновременно делиться на 5, так как их разность равна 8. Следовательно, либо  n – 4,  либо  n + 4  делится на 5³. Кроме того, оба числа чётны и делятся на 4, иначе их произведение не делилось бы на 24. Значит, хотя бы одно из этих чисел делится на  5³·4 = 500,  то есть  n = 500m ± 4,  n² = 250000m² ± 4000m + 16.  Если  m = 1,  то n² оканчивается на 6016 или 4016. Если же  m = 2  и выбран знак "минус", то получаем число  m = 996  – наименьшее удовлетворяющее условию задачи, так как  996² = 992016.


Ответ

996.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .