ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65696
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?


Решение

  Пусть Архимед сначала положит в мешок слитки с весами 1, 2, 3 и 5 кг, а потом – слитки с весами 1, 4 и 6 кг. В обоих случаях мешок не порвётся.
  Докажем, что это могло произойти только в том случае, если дважды был использован слиток веса 1 кг. Действительно, если бы Архимед в эти два раза вместо слитков с весами 1, ..., 6 кг использовал соответственно слитки с весами w1, ..., w6 кг, то эти веса удовлетворяли бы системе неравенств  w1 + w2 + w3 + w5 ≤ 11,  w1 + w4 + w6 ≤ 11.  Складывая, получаем  w1 + (w1 + w2 + ... + w6) ≤ 22.  В скобках стоит сумма шести различных натуральных чисел, она не меньше
1 + 2 + ... + 6 = 21.  Отсюда следует, что  w1 ≤ 22 – 21 = 1.  Значит,  w1 = 1,  то есть слиток веса 1 кг однозначно определён.
  Осталось показать, что одной загрузки недостаточно. Если Архимед загрузит один слиток, то мешок не порвётся в любом случае, то есть никакой слиток идентифицировать не удастся. Пусть Архимед загрузит больше одного слитка, и мешок не порвётся. Если слиток в 1 кг не загружен в мешок, то при замене им любого слитка из мешка результат не изменится; значит, в этом случае Гиерон даже не сможет понять, находится ли этот слиток в мешке.   Если же искомый слиток в мешке, то Гиерон не сможет понять, какой из (хотя бы двух) загруженных слитков – требуемый.


Ответ

За две загрузки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .