|
|
 |
Условие
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.
Решение 1
Пусть A – полное множество. Поскольку оно непусто, то можно выбрать элемент a ∈ A. Тогда a + 0 = a ∈ A, значит, a·0 = 0 ∈ A. Так как
(– x) + x = 0 ∈ A, получаем теперь, что (– x)·x = – x² ∈ A при всех действительных x. В силу произвольности выбора x отсюда следует, что множество A содержит все отрицательные числа.
Наконец, для любого b > 0 из того, что число (– b) + (– b) = – 2b лежит в A, получаем, что b² = (– b)(– b) ∈ A. Значит, A содержит и все положительные числа.
Решение 2
Выберем произвольный элемент s ∈ A. Докажем, что любое t ≤ 0 лежит в A. Рассмотрим уравнение x² – sx + t = 0; его дискриминант неотрицателен, так что оно имеет два (возможно, совпадающих) корня
a и b. По теореме Виета a + b = s и ab = t. Поскольку s ∈ A, то и t ∈ A.
Пусть u > 0 . По доказанному выше (– u) + (–1) ∈ A; значит, и (–u)
·(–1) = u ∈ A.
Ответ
Только множество R всех действительных чисел.
