ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65704
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax2 + bx + c,  не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена  f(x) быть рациональным?


Решение

Так как трёхчлен  f(x) не имеет корней, то  c = f(0) ≠ 0  и  f(c) ≠ 0.  Значит, число  f(c)/c  иррационально как отношение рационального и иррационального чисел. Но  f(c)/c = ac + b + 1.  Так как  b + 1  рационально, то ac – иррационально. Следовательно, дискриминант  D = b2 – 4ac  иррационален как разность рационального и иррационального чисел.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .