ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65706
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности Ω, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности Γ, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q.
Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.


Решение

  Так как BL – биссектриса угла ABC, то  ∠ABL = ∠LBC.  Поскольку PB – касательная к Ω, то  ∠PBA = ∠BCA.  Кроме того,
PBL = ∠PBA + ∠ABL = ∠BCA + ∠LBC = ∠BLP,  значит,  ∠BPM = 180° – (∠PBL + ∠BLP) = 180° – 2∠BLP.  Отсюда следует, в частности, что угол BLP – острый.

  Так как  ∠BLM = 180° – BLP > 90°,  касательные к Γ в точках B и M пересекаются в точке Q, лежащей по ту же сторону от BM, что и точка L (а значит – по ту же сторону, что и P). Далее имеем  ∠QBM = ∠QMB = 180° – ∠BLM = ∠BLP.  Значит,  ∠BQM = 180° – 2∠QBM = 180° – 2∠BLP = ∠BPM.  Поэтому точки B, M, P и Q лежат на одной окружности. Отсюда следует, что  ∠QPM = ∠QBM = ∠BLP.  Это и означает, что  PQ || BL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .