ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65709
Темы:    [ Касающиеся сферы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.


Решение

  Оценка. Пусть среди сфер есть r красных и  2016 – r  зелёных. Так как две сферы касаются не более чем в одной точке, количество синих точек не превосходит  r(2016 – r) = 1008² – (1008 – r)² ≤ 1008².
  Предъявим пример с таким количеством синих точек. Пусть l – некоторая прямая, α – плоскость, перпендикулярная l и пересекающая её в точке O, а ω – окружность с центром O и радиусом 1, лежащая в α. Построим 1008 красных сфер одинакового радиуса  r < 1  с различными центрами R1, R2, ..., R1008, лежащими на ω.
  Пусть G1, G2, ..., G1008 – различные точки на l, удалённые от O на расстояния d1, d2, ..., d1008. Тогда расстояние между Gi и любой точкой Rj равно  .  Значит, если мы построим зелёную сферу с центром Gi и радиусом  ,  она будет касаться всех красных сфер. При этом все точки касания будут попарно различными, поскольку они лежат на отрезках вида RjGi, которые не имеют общих точек, кроме концов. Значит, в нашей конструкции действительно будут отмечены 1008² синих точек.


Ответ

10082 = 1016064 точки.

Замечания

Все красные сферы в этом примере получаются друг из друга вращением вокруг прямой l. Поэтому, если зелёная сфера, центр которой лежит на l, касается одной красной сферы, то она касается и всех красных сфер.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .