ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65719
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30° ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?


Решение

Пусть в треугольнике ABM с углами соответственно 90°, 60° и 30° высота AH и биссектриса BL пересекаются в точке K (см. рис.). Простой подсчёт углов показывает, что в треугольнике ABM сторона AM, высота AH и биссектриса BL образуют красный равносторонний треугольник AKL. Отметив теперь точку C так, чтобы M стала серединой отрезка BC, получим требуемую конструкцию.


Ответ

Мог.

Замечания

1. Конструкция единственна.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .