ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65729
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть p – простое число, большее 10k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.


Решение

  Через XY будем обозначать число, полученное приписыванием к числу X справа числа Y. (X и Y могут содержать незначащие нули слева.)

  Первый способ. Пусть число CAD получено из исходного числа CD. Так как эти числа делятся на p, то на p делится и число
CAAD = (CADCD )·10k + CAD.
  Пусть  A = EF  и из числа CAD вставкой числа B получено число CEBFD, кратное p. Вычитая из него число  CAAD = CEFEFD  и сокращая на степень десятки, получим, что число  BFE  делится на p. Но последнее число по модулю меньше 10k, то есть меньше p. Следовательно,  B = FE,  что и требовалось.

  Второй способ. В тех же обозначениях, вычитая из CEFD число CD, получим, что  CEFC  делится на p. Аналогично из чисел CEDFD и CEFD выводим делимость  CEBCE  на p. Домножив  CEFC  на подходящую степень десятки и прибавив E к обоим числам разности, заключаем, что  CEFECE  делится на p. Следовательно,  CEBCEFE = BFE  делится на p.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .