Задача 65734

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прасолов М.

Пусть M – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. На сторонах AB и BC отмечены соответственно точки E и F так, что  AE ≠ CF  и
∠FMC = ∠MEF = α.  Найдите  ∠AEM.

Решение

  Рассмотрим описанную окружность треугольника MEF. Угол между касательной и хордой MF равен  ∠MEF = ∠FMC.  Поэтому MC и есть касательная. Значит, центр окружности лежит на высоте BM. Следовательно, эта высота является осью симметрии рисунка. Поскольку  AE ≠ CF,  то окружность пересекает каждую из боковых сторон в двух точках. Причём E и F не симметричны. Два возможных случая снабжены соответствующими индексами (см. рис.). Рассмотрим их.

  1) Внешний угол AE₁M вписанного четырёхугольника ME₁E₂F₂ равен углу MF₂E₂, а последний равен симметричному углу  ME₁F₁, равному α.
  2) Вписанные углы AE₂M и ME₂F₂, равный α опираются на симметричные дуги.

Ответ

α.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3