ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65736
Темы:    [ Инварианты ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f1 и g1, что  f + g = f1 + g1  или  fg = f1g1.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.


Решение

Заметим, что при замене многочленов  f и g на  f1 и g1 сумма коэффициентов при 36-х степенях этих многочленов не меняется. Для замены первого вида (при которой  f + g = f1 + g1)  это очевидно, а при замене второго вида это следует из равенства
(x37 + ax36 + ...)(x37 + bx36 + ...) = x74 + (a + b)x73 + ...  Но вначале сумма всех таких коэффициентов у выписанных на доске многочленов неотрицательна, значит, она всегда будет такой. Если в конце все многочлены будут иметь по 37 корней, то по теореме Виета эта сумма равна сумме всех этих корней с обратным знаком. Следовательно, среди корней будут неположительные.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .