|
|
 |
Условие
На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а) N = 3; б) N = 4.Решение
Оценка. Возьмём любые две дороги – большие окружности на сфере. Они пересекаются в некоторой точке-узле. Мысленно повернём одну из этих дорог относительно диаметра, содержащего узел, чтобы совпали дороги и направления движения на них. Если в этом эксперименте поезда-дуги пересекутся, то через некоторое время они на самом деле пересекутся в узле, что запрещено. Поэтому сумма длин поездов на этих дорогах не больше 1.
Пусть a1, ..., an – суммы длин поездов на n дорогах. Складывая все неравенства вида ai + aj ≤ 1, где 1 ≤ i < j ≤ n, получим
(n – 1)(a1 + ... + an) ≤ ½ n(n – 1), то есть a1 + ... + an ≤ n/2.
Пример. Первый способ.
(Кубоктаэдр получается из куба соединением середин всех соседних рёбер. Таким образом, проекции дорог – это правильные шестиугольники – сечения бывшего куба.)
Второй способ. б) Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, вписанную в данную сферу. Каждая дорога – сечение сферы плоскостью, проходящей через одно из ребер основания и противоположное ребро другого основания призмы. На каждой дороге разместим по одному поезду длины ½. На рисунке изображены "проекции" дорог и поездов на поверхность призмы (каждой дороге соответствует свой цвет).
а) Достаточно убрать одну из дорог, построенных в п. б).
Ответ
а) 1,5; б) 2.
Замечания
1. Как в первом способе из икосаэдра (или додекаэдра) можно вырезать икосододекаэдр (см. рис.) и так же расставить поезда, получив пример с шестью дорогами.
2. На самом деле можно добиться сколь угодно большой суммарной длины поездов, если разрешается использовать сколь угодно большое число дорог.
3. Баллы – 4 + 6.
