ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65742
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что  KS || AC  и  LT || AB.  Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.


Решение

  Если  l || BC,  утверждение очевидно в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к BC.
  Пусть прямые l и BC пересекаются в точке X (см. рис.). Из параллельности получаем  XB : XT = XK : XL = XS : XC,  откуда  XT·XS = XB·XC = XP·XQ.  Следовательно, точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Замечания

Можно показать, что полученная окружность касается прямых KS и LT в точках S и T соответственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .