ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65747
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.


Решение

  Будем считать, что точка Y лежит ближе к точке B, чем Z; кроме того, пусть сторона BC горизонтальна, а A лежит выше неё (см. рис.).

  Обозначим через ωA указанную вневписанную окружность, а через ω' – вневписанную окружность треугольника XYZ, касающуюся стороны XZ. Пусть ω касается BC в точке A''. Обозначим через T точку пересечения AA' и ω, лежащую ближе к A. Гомотетия с центром A, переводящая ω в ωA, переводит T в A'; значит, касательная к ω в T параллельна BC.
  Поскольку окружности ω и ω' вписаны в вертикальные углы, образованные прямыми XY и XZ, существует гомотетия с центром в X (и отрицательным коэффициентом), переводящая ω в ω'. При этой гомотетии точка T переходит в самую нижнюю точку окружности ω'. С другой стороны, эта точка лежит на прямой AA', значит, она совпадает с A'. Таким образом, ω' касается BC в точке A'.
  Обозначим полупериметр треугольника XYZ через p. Так как окружности ω и ω' – вневписанные для этого треугольника, то  ZA' = YA'' = p – YZ.  Значит,
XY + XZ = 2p – YZ = 2(p – YZ) + YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'',  то есть не зависит от выбора точки X.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .