ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65750
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQAC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.


Решение

  Выберем на прямой QP такую точку T, что  DTDA  (см. рис.). Заметим, что точки P и D лежат на окружности с диаметром AT. Значит, центр окружности ω1 лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку DT.

  Так как  ∠QBD = ∠СBD = ∠СAD = ∠PAD = ∠PTD = ∠QTD,  то точки B, Q, D и T лежат на одной окружности. Поэтому центр окружности ω2 также лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку DT. Таким образом, прямая l проходит через центры ω1 и ω2. Поскольку  lDT  и  ADDT,  то  l || AD,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .