ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65751
Темы:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (ai, bi, ci),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  ai + bi + ci  есть хотя бы три различных.


Решение

  Предположим противное; тогда у каких-то четырёх циклов  (ai, bi, ci)  суммы чисел одинаковы и равны некоторому s. Для каждого из этих циклов
s = ai + bi + ci = ai + f(ai) + f(f(ai)) = bi + f(bi) + f(f(bi)) = ci + f(ci) + f(f(ci)).
  Итак, все 12 чисел наших четырёх циклов – корни многочлена  g(x) = x + f(x) + f(f(x)) – s.  Однако все эти 12 чисел по условию различны, а степень многочлена g(x) равна 9; значит, у него не может быть больше девяти различных корней. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .