Задача 65769

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10,11

Условие

В выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две случайные диагонали.
Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри – то есть не в вершине).

Решение

  Всего у шестиугольника девять диагоналей и, значит,  9·8 : 2 = 36  пар диагоналей. Осталось понять, сколько пар диагоналей пересекается внутри шестиугольника. Диагонали у шестиугольника бывают двух видов: главные (соединяют противоположные вершины) и неглавные. Например, диагональ AC – неглавная (см. рис.). Всего неглавных диагоналей 6, и каждая пересекает 3 другие диагонали. Главных диагоналей (таких, как AD) всего три штуки, и каждая пересекает четыре другие диагонали. Всего получается (см. рис.)  (6·3 + 3·4) : 2 = 15  пар пересекающихся диагоналей.

  Следовательно, вероятность того, что две случайно выбранные диагонали пересекаются внутри, равна  ¹⁵/₃₆ = ⁵/₁₂.

Ответ

⁵/₁₂.

Замечания

Ср. с задачей 65775.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2016
тур
задача
Номер	5