Задача 65797

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Панов М.Ю.

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O₁ и O₂ – их центры; P₁ и P₂ – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O₁P₁ и O₂P₂ пересекаются на AB.

Решение

Пусть O₁P₁ и O₂P₂ пересекают AB в точках K₁ и K₂. Тогда по теореме Фалеса  AK₁ : K₁B = AP₁ : P₁C,  AK₂ : K₂B = CP₂ : P₂B.  Но эти отношения равны в силу подобия треугольников AРC и CHB.

Замечания

Из решения следует также, что точка пересечения указанных прямых является точкой касания вписанной в треугольник ABC окружности с гипотенузой (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	9