|
|
 |
Условие
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
Решение 1
Так как точки A, C, HA, HC лежат на одной окружности, достаточно доказать, что прямые AC, HAHC и TL пересекаются в одной точке. Проецируя вершины гармонического четырёхугольника ABCL из точки T на прямую AC, получаем, что точка пересечения TL с AC образует гармоническую четвёрку с точками A, C, HB. По теореме Менелая прямая HAHC пересекает AC в этой же точке.
Решение 2
Пусть M – середина AC. Обозначим описанные окружности треугольников AHC, BHAHC и четырёхугольника AHCHAC соответственно ω1, ω2, ω3. Как известно, окружности ω1 и ω симметричны относительно прямой AC (см. задачу 55463). Пусть окружности ω2 и ω повторно пересекаются в точке P, а ω2 и ω1 – в точке N.
Известно, что точки M, H и P лежат на одной прямой (см. задачу 66146), а ∠BPH = 90°.
Пусть прямые BP и AC пересекаются в точке S. Тогда H – ортоцентр треугольника BMS. Следовательно, SH ⊥ BM, то есть точка N лежит на медиане BM.
Поскольку дуги CN, AD и CL равны, то точки N и L симметричны относительно AC.
Заметим, что S – радикальный центр как окружностей ω, ω1, ω2, так и окружностей ω, ω2, ω3, поэтому радикальная ось NH окружностей ω1 и ω2, а также радикальная ось HCHA окружностей ω2 и ω3 проходят через S. Прямые NH и LT симметричны относительно AC, поэтому они пересекаются в точке S (см. рис.). Степени точки S относительно ω и ω2 равны, то есть SHA·SHC = ST·SL. Следовательно, точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
Замечания
Вписанный четырёхугольник ABCL называется гармоническим, если
AB·CL = BC·AL. В нашем случае это равенство следует из того, что CL = AD,
AL = CD и AB·AD sin∠BAD = SABD = SBCD = BC·CD sin∠BCD = BC·CD sin∠BAD.
