ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65821
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  SDEF : SABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.


Решение

  Пусть угол C прямой, D, E, F – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах BC, AC и AB, O – середина AB.

  Способ 1. Точки C и F лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  ∠ACF = ∠ABF = 45°.  Следовательно,  CFDE  и  SDEF = ½ FC·DE.

  а) Пусть K – точка пересечения CF и AB. Поскольку  CF || BD || AE  (все они перпендикулярны DE), то
SABC = SACK + SBCK = SECK + SDCK = SDEK < SDEF.

  б)  SDEF – SABC = SDEF – SDEK = SFDK + SFEK = SFBK + SFAK = SAFB = ½ FO·AB ≥ ½ hС·AB = SABC  (hС – высота треугольника ABC,  hС ≤ CO = FO).

  Способ 2. б) Построим прямоугольник ACBG и опишем вокруг него квадрат DEMN. При повороте на 90° вокруг центра этого квадрата он перейдёт в себя, а точка A – в точку F. Значит, точка F лежит на стороне MN. Заметим, что  SDEF = ½ SDEMN.  Загнув "уголки" квадрата, не входящие в прямоугольник (см. рис.), мы его полностью покроем. Значит,  2SABC = SABCG ≤ ½ SDEMN.

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта: ("Квант", 2006, №3, задача М1997).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .