Задача 65824

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8

Условие

Автор: Богданов И.И.

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

Решение

  Пусть B и C ближе к точке K, чем A и D соответственно.

  Первый способ. Поскольку  ∠MBC + ∠NCB > 180° > ∠MAD + ∠NDA,  то  ∠MBC > ∠MAD  или  ∠NCB > ∠NDA.  Пусть  ∠NCB > ∠NDA.  В треугольниках NCB и NDA равны две пары сторон. Поэтому  NB > NA  (например, по теореме косинусов). По тем же соображениям, из сравнения треугольников NMB и NMA имеем  ∠NMB > ∠NMA.  Значит, угол NMB тупой.

  Второй способ.  ∠KCB + ∠KBC = ∠KDA + ∠KAD.  Заметим, однако, что AD и BC непараллельны. Поэтому либо  ∠KCB < ∠KDA,  либо
∠KBC < ∠KAD.  Будем считать, что выполнено первое неравенство.

  Рассмотрим параллелограмм BCDP. Ввиду выбранного неравенства углов точка P находится внутри треугольника AKD. Проведём в треугольнике BAP среднюю линию MQ, параллельную BP. Тогда MNDQ – параллелограмм (стороны MQ и ND параллельны и равны). Но основание AP равнобедренного треугольника ADP перпендикулярно медиане DQ, а значит, и NM. Следовательно, угол NMA острый, а NMK тупой.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2