Задача 65843

Темы:    [ Показательные неравенства ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Известно, что число a положительно, а неравенство  10 < a^x < 100  имеет ровно пять решений в натуральных числах.
Сколько таких решений может иметь неравенство  100 < a^x < 1000?

Решение

Пусть  a = 10^b.  Тогда неравенство  10 < a^x < 100  равносильно  1 < bx < 2,  а  100 < a^x < 1000  равносильно  2 < bx < 3.  Мы пришли к задаче, аналогичной 65838. Примеры для 4, 5 или 6 решений получаются соответственно при  b = ⁵/₂₃, ¹/₆, ⁵/₂₇.

Ответ

4, 5 или 6 решений.

Замечания

1. Фактически мы положили  b = lg a  и прологарифмировали неравенства.

4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3