|
|
 |
Условие
Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5n начинается цифрой 2?
Решение 1
Пусть число 2n записывается k цифрами, а 5n – m цифрами. Если степени начинаются на 5 и 2, то 5·10k–1 < 2n < 6·10k–1, 2·10m–1 < 5n < 3·10m–1. Перемножим неравенства почленно: 10k+m–1 < 10n < 18·10k+m–2 < 10k+m, то есть k + m – 1 < n < k + m. Противоречие.
Решение 2
2n·5n = 10n. Если в записях 2n и 5n заменить нулями все цифры, кроме первых, каждое из чисел уменьшится, но не более чем в два раза. Произведение заменённых чисел будет меньше 10n, но не более чем в 4 раза, поэтому оно не будет иметь вид 10...0. Однако если бы одно из заменённых чисел начиналось на 5, а другое – на 2, произведение было бы 50...0·20...0 = 10...0. Противоречие.
Ответ
Не существует.
Замечания
1. 5 баллов.
2. Ср. с задачей 65853.
