|
|
 |
Условие
На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?
Решение
а) Найдутся две соседние точки с номерами разной чётности. Соединим их и мысленно удалим. Из оставшихся точек снова можно выбрать две соседние и т.д. В итоге все точки разобьются на нужные пары.
б) Занумеруем точки в естественном порядке. Отрезок, соединяющий два числа одной чётности, разобьёт оставшиеся точки на две нечётные кучки, которые на пары уже не разбить.
Ответ
б) Неверно.
Замечания
баллы: 2 + 2
