ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65862
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётными.
  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётными?


Решение

а) Найдутся две соседние точки с номерами разной чётности. Соединим их и мысленно удалим. Из оставшихся точек снова можно выбрать две соседние и т.д. В итоге все точки разобьются на нужные пары.

б) Занумеруем точки в естественном порядке. Отрезок, соединяющий два числа одной чётности, разобьёт оставшиеся точки на две нечётные кучки, которые на пары уже не разбить.


Ответ

б) Неверно.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .