ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65863
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны параллелограмм ABCD и такая точка K, что  AK = BD.  Точка M – середина CK. Докажите, что  ∠BMD = 90°.


Решение

Пусть O – центр параллелограмма. Тогда OM – средняя линия треугольника CAK  (OM = ½ AK  и в случае, когда K лежит на прямой CA). Поэтому в треугольнике BMD медиана MO равна половине противоположной стороны  BD = AK.  Значит, угол BMD прямой.

Замечания

1. Если  AK || BD,  то треугольник BMD вырождается и угол BMD не имеет смысла.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .