Задача 65869

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведённой из прямого угла.

Решение

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, а окружность с центром O касается катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках K, L и M соответственно.
  Способ 1. Обозначим  ∠A = 2α  и  ∠B = 2β.  Прямая LH и биссектриса угла A параллельны как перпендикуляры к MK (рис. слева). Значит, угол между прямыми LH и AC равен α, а  ∠HLC = 90° – α.  Аналогично  ∠HKC = 90° – β.  Из четырёхугольника HLCK находим  ∠KHL = 90° + α + β = 135°.  Так как  CK = CL  и  ∠KHL + ½ ∠KCL = 180°,  то точка H лежит на окружности с центром C и радиусом CK. Поэтому треугольник KCH равнобедренный и  ∠KCH = 2β.  Следовательно, прямые CH и AB пересекаются под углом 90°, что и требовалось.

  Способ 2. Пусть MS – диаметр вписанной окружности (рис. справа). Тогда SK и LH параллельны как перпендикуляры к MK. Аналогично параллельны SL и KH, то есть SKHL – параллелограмм. Поскольку CKOL – квадрат, то отрезки CH и OS симметричны относительно середины отрезка KL. Значит,
CH || MS ⊥ AB.

Замечания

1. Параллельность CH и MO сразу следует из того, что в треугольнике KML ортоцентр H, вершина M, центр O описанной окружности и точка C, симметричная ему ему относительно стороны KL, образуют параллелограмм, возможно, вырожденный (см. решение задачи 53528).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5