Задача 65881

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1?

Решение

  Рассмотрим круг диаметра 1 и объединение двух описанных вокруг него квадратов, отличающихся поворотом на 45°. Получится восьмиконечная звезда. Откинем от неё четыре серых треугольника (рис. слева). Круг лежит в оставшейся белой фигуре и касается её границы только в четырёх точках. Немного сдвинем круг вправо. Сдвинутый круг останется в фигуре и будет касаться только её стороны CE в точке S. Это останется верным и после небольшого увеличения сдвинутого круга гомотетией с центром в S.

  Поскольку увеличенный круг не касается AD, то два треугольника можно соединить перешейком вне круга (рис. справа). Отрежем от квадрата ABCD полученную красную фигуру. Она покроет пару треугольников, в которых лежат непокрытые остатком квадрата части увеличенного круга.

Ответ

Можно.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5