|
|
 |
Условие
Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?
Решение
Предположим таких целых чисел нет. Пусть, для определенности, число 2016 – чёрное, а 2017 – белое. Рассмотрим два случая.
1) Число 0 – белое. Тогда любое число, противоположное к белому, – чёрное. В частности, число –2017 – чёрное. Из того, что числа –2017 и 2016 – чёрные и –2017 + 2016 + 1 = 0, следует, что число 1 – белое, а –1 – чёрное. Числа –1 и 2016 – чёрные, значит, число –2015 – белое, а 2015 – чёрное. Числа –2015 и 2017 – белые, –2017 + 2015 + 2 = 0, поэтому число 2 – белое.
Пусть n – наименьшее чёрное натуральное число, тогда число n – 1 – белое, а 1 – n – чёрное. Но –1 + (1 – n) + n = 0, 1 –n ≠ –1, и эти три числа – чёрные. Противоречие.
2) Число 0 – чёрное. Тогда любое число, противоположное к чёрному, – белое. В частности, число –2016 – белое. Из того, что числа –2016 и 2017 – белые и –2016 + 2017 + (–1) = 0 следует, что число –1 – чёрное, а 1 – белое. Числа 1 и –2016 – белые, значит, число 2015 – чёрное, а –2015 – белое. Числа –2015 и 2017 – белые, (–2015) + 2017 + (–2) = 0, поэтому число –2 – чёрное.
Пусть –m – наибольшее отрицательное белое число. Тогда число 1 – m – чёрное, а m – 1 – белое. Но 1 + (m – 1) + (–m) = 0, m – 1 ≠ 1, и эти три числа – белые. Противоречие.
Ответ
Обязательно.
