ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65931
Темы:    [ Метод ГМТ в пространстве ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < /3.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.


Решение

  Первый способ. Построим на каждой стороне треугольника во внешнюю сторону дуги, вмещающие угол φ. Покажем, что на дугах BC, CA, AB найдутся такие точки X, Y, Z соответственно, что  AZ = AY,  BZ = BX,  CX = CY.  Пусть AC – наибольшая сторона треугольника, AB – наименьшая. Возьмём произвольную точку Z на дуге AB, найдём на дуге BC такую точку X, что  BX = BZ,  (Х определяется однозначно, так как   AB ≤ BC)  и построим точку Y, лежащую по разные стороны с В от прямой АС и такую, что  AY = AZ,  CY = CX.  При  Z = B  имеем  AY = AB,  CY = CB.  Следовательно,
AYC = ∠B < φ  и Y лежит вне сегмента, построенного на АС (рис. слева).

  При  Z = A  точка Y не существует, так как  AC ≥ BC.  Следовательно, при некотором промежуточном положении точки Z, точка Y попадает на дугу АС (рис. справа).
  Осталось доказать, что из треугольников ABC, ABZ, BCX, ACY можно склеить тетраэдр, то есть что хотя бы в одной из вершин A, B, C угол треугольника ABC меньше суммы примыкающих к той же вершине углов двух других треугольников (см. задачу 87108). Если это не так, то
A + ∠B + ∠C ≥ 3π – 3φ > 3π – 2π = π.  Противоречие.

  Второй способ. Для каждого из отрезков AB, BC и CA построим на плоскости множество точек, из которых эти отрезки видны под углом φ – получим шесть дуг. Для BC пусть это множество ωa, для AC – ωb и для AB – ωc. K, L, M  – точки пересечения этих множеств (см. рис.). Рассмотрим пересечение трёх областей с границами из двух дуг (оно непусто, например, ему принадлежит точка Ферма-Торичелли, из которой все стороны треугольника видны под углом /3).

  Ясно, что M лежит в области, ограниченной ωa, L – ωb, а K – ωc. Множество точек пространства, из которых отрезок BC виден под углом φ – поверхность, получающаяся при вращении ωa относительно BC. Обозначим её Fa. Аналогично получим ещё две поверхности – Fb, Fc. Пересечением Fa и Fb будет некоторая непрерывная кривая, проходящая через C и K, причём K лежит внутри тела, ограниченного Fc, а C – вне его. Значит, линия пересечения Fa и Fb будет также пересекать и Fc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 24

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .