ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65932
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Точка Лемуана ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.


Решение

  Пусть  AB ≠ AC.  Проведём отрезок B'C' так, чтобы  ∠AC'B' = ∠C.  Ясно, что треугольники АВС и AB′C′ подобны, при этом отрезки B′C′ и ВС не параллельны. Отметим середину М отрезка B′C′ и достроим треугольник до параллелограмма AB′A′C′. Далее найдём точку A1 пересечения прямых АМ и ВС и построим параллелограмм АВ1А1С1. Отрезки А1С1, В1А1 и В1С1 осуществляют искомое разрезание.

Замечания

Легко видеть, что 1симедиана треугольника АВС. Поэтому можно было сразу построить точку А1 как точку пересечения симедианы (прямой, симметричной медиане АK относительно биссектрисы угла А) со стороной ВС.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
тур
задача
Номер 10

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .