ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65941
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема косинусов ]
[ Формула Эйлера ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.


Решение

  Пусть R, r – радиусы описанной и вписанной сфер тетраэдра ABCD,  О – центр его описанной сферы, L – центр описанной окружности треугольника АВС,  Н – проекция I на плоскость АВС. Из условия следует, что О и D' лежат на перпендикуляре к плоскости АВС, проходящем через L, поэтому прямые DO' и IH параллельны (рис. слева). Кроме того,  D'A = D'I  (как радиусы описанной сферы тетраэдра IABC),  OA = R,  IH = r.

  Дважды применим теорему косинусов – к треугольникам AD'O и OD'I:  R² = D'A² + D'O² – 2D'A'·D'O cos∠AD'O,  OI2 = D'I² + D'O² – 2D'I·D'O cos∠ID'O.
  Отсюда  R² – OI² = 2D'O·|D'A cos∠AD'O – D'I cos∠ID'O| = 2D'O·IH.
  Следовательно,  D'O = 1/2r (R² – OI²).
  Аналогично доказывается, что и точки A', B', C' удалены от О на такое же расстояние.
  Таким образом, описанные сферы тетраэдров ABCD и A'B'C'D' концентричны и D'O – радиус описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.
  Докажем, что  D'O > R  ⇔  1/2R (R² – OI²) > r.  Для этого проведём плоскость DOI. Она пересекает описанную и вписанную сферу по окружностям с центрами O, I и радиусами R, r, а тетраэдр – по некоторому треугольнику. Вершина D этого треугольника лежит на большей окружности, а из двух других вершин по крайней мере одна лежит внутри этой окружности. Кроме того, меньшая окружность целиком лежит внутри этого треугольника и внутри большей окружности. Поэтому, если провести через D хорды DX1 и DY1 большей окружности, касающейся меньшей, то меньшая окружность окажется строго внутри треугольника DX1Y1. Будем "раздувать" меньшую окружность, сохраняя центр и увеличивая радиус (рис. справа). Из соображений непрерывности следует, что наступит момент, когда "раздутая" окружность (некоторого радиуса r') будет вписана в треугольник DX'Y', образованный парой касательных с вершиной в D.
  Этот же треугольник будет вписан в большую окружность, поэтому для него выполняется формула Эйлера:  OI² = R² – 2Rr'.
  Следовательно,  r < r' = 1/2R (R² – OI²).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 20

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .