|
|
 |
Условие
Докажите, что натуральные числа n и n2017 оканчиваются на одну и ту же цифру.
Решение
Если число n оканчивается на 0, 1, 5 или 6, то и любая степень этого числа оканчивается на ту же самую цифру.
Если число n оканчивается на 4 или на 9, то последние цифры степеней этого числа чередуются в зависимости от чётности показателя степени, то есть образуют цикл длины два (4 – 6 – 4 или 9 – 1 – 9 соответственно).
Если число n оканчивается на 2, 3, 7 или 8, то последние цифры степеней этого числа образуют цикл длины четыре (2 – 4 – 8 – 6 – 2, 3 – 9 – 7 – 1 – 3,
7 – 9 – 3 – 1 – 7 или 8 – 4 – 2 – 6 – 8 соответственно).
Так как 2017 – 1 = 2016, а 2016 делится на 4, то при любых значениях n число n2017 оканчивается на ту же цифру, что и число n.
Замечания
7 баллов
