Задача 65952

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике АВС  АС = 8,  ВС = 5.  Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла С, проходит через середину стороны АВ и точку Е на стороне АС. Найдите АЕ.

Решение

  Пусть CL – биссектриса внешнего угла С, D – середина АВ, K – точка на продолжении стороны АС за точку С (см. рис.).

  Первый способ. Через вершину В проведём прямую, параллельную CL, F – точка её пересечения с прямой АС. Тогда треугольник BCF – равнобедренный. Действительно,  ∠СFB = ∠KCL = ∠BCL = ∠СBF,  значит,  CF = CB.
  Так как  АС > BC,  то F лежит на отрезке АС. Кроме того, так как  DE || BF  и D – середина АВ, то  AE = EF.
  Таким образом,  AE = ½ (AC – CF) = ½ (AC – BC) = 1,5.

  Второй способ. По теореме о биссектрисе внешнего угла треугольника  LA : LB = CA : CB = 8 : 5.  По теореме Фалеса  AE : AC = AD : AL = 3 : 16.
  Значит,  AE = ³/₁₆ AC = 1,5.

Ответ

1,5.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.2