ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65985
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Тригонометрические уравнения ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

(sin x, sin y, sin z)  – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность  (cos x, cos y, cos z)  также являться арифметической прогрессией?


Решение 1

Предположим, что  (cos x, cos y, cos z)  – арифметическая прогрессия. Тогда  2cos y = cos x + cos z.  Из условия следует, что  2sin y = sin x + sin z.  Возведём в квадрат каждое из этих равенств и почленно сложим. Получим:  4cos2y + 4sin2y = cos2x + 2cos x cos z + cos2z + sin2x + 2sin x sin z + sin2z  ⇔  cos(x – z) = 1  ⇔  x – z = 2πn,  nZ.  Следовательно,  sin x = sin(z + 2πn) = sin z,  что противоречит условию.


Решение 2

  На координатной плоскости рассмотрим точки  А(cos x, sin x),  В(cos y, sin y)  и  С(cos z, sin z).
  Если каждая из последовательностей  (cos x, cos y, cos z)  и  (sin x, sin y, sin z)  является арифметической прогрессией, то     Из условия следует, что эти векторы не нулевые, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой. С другой стороны, эти три точки лежат на единичной окружности. Одновременно это невозможно.


Ответ

Не может.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .