ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65986
Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О, М и N – середины сторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение  ОМ : ОN,  если  AD = 2BC.


Решение

  NM – медиана треугольника BNC (см. рис.), поэтому  SBMN = SСMN.

  Из условия теперь следует, что  SABN = SDСN.  Кроме того, у треугольников ABN и DСN равны стороны AN и DN, поэтому их высоты BH и CT также равны. Следовательно,  AD || BC,  то есть ABCD – трапеция.
  Значит, точка О лежит на отрезке MN, а треугольники AOD и COB подобны с коэффициентом  AD/BC = 2.  Так как ON и OM – соответствующие медианы этих треугольников, то и  ОМ : ОN = 1 : 2.


Ответ

1 : 2.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .