Задача 65988

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть a, b, c, d – действительные числа, удовлетворяющие системе
  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_d + ^d/_a = 6,
  ^a/_c + ^b/_d + ^c/_a + ^d/_b = 8.
Какие значения может принимать выражение ^a/_b + ^c/_d?

Решение

  Пусть  x = ^a/_b + ^c/_d,  y = ^b/_c + ^d/_a,  тогда  x + y = 6,  xy = ^a/_c + ^b/_d + ^c/_a + ^d/_b = 8.  Следовательно, x и y – корни квадратного уравнения  t² – 6t + 8 = 0,  то есть  x = 2  или  x = 4.
  Эти значения достигаются, например, при  (a, b, c, d) = (2 + , 2 + , 1, 1)  и  (2 + , 1, 1, 2 + ).

Ответ

2 или 4.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.1