ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66000
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Могут ли три различных числа вида  2n + 1,  где n – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?


Решение

Пусть существуют такие различные натуральные числа k, m и n, что  2k + 1,  2m + 1  и  2n + 1  – последовательные члены некоторой геометрической прогрессии. Тогда  (2m + 1)2 = (2k + 1)(2n + 1),  то есть  22m + 2m+1 = 2k+n + 2k + 2n.  Но это равенство невозможно в силу единственности представления числа в виде суммы различных степеней двойки.


Ответ

Не могут.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .