ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66004
Темы:    [ Куб ]
[ Площадь сечения ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан куб АBCDA'B'C'D' c ребром 1. На его рёбрах АВ, ВС, C'D' и D'A' отмечены точки K, L, M и N соответственно так, что KLMN – квадрат.
Найдите его площадь.


Решение

  Проекция квадрата на плоскость грани ABCD является параллелограммом, а по теореме о трёх перпендикулярах – это даже прямоугольник KLM'N' (рис. слева).

  Поскольку противоположные вершины прямоугольника лежат на противоположных сторонах квадрата, то центр прямоугольника лежит на пересечении средних линий квадрата, то есть совпадает с центром О квадрата ABCD.
  Окружность с центром О и диаметром, равным диагонали прямоугольника, пересекает каждую сторону квадрата не более чем в двух точках. Ясно, что возможны четыре вписанных в квадрат прямоугольника с этими вершинами: в двух из них диагонали прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, в двух других прямоугольник является квадратом (рис справа). В нашей ситуации последнее невозможно, так как  KN' < KN = KL.
  Пусть  KL = KN = a,  AK = AN' = x,  тогда  BK = 1 – x  (рис. слева). Из прямоугольного треугольника KNN'  a² = 2x² + 1,  а из прямоугольного треугольника KBL  a² = 2(1 – x)² = 2 – 4x + 2x².  Отсюда  2 – 4x = 1,  x = ¼.  Значит,  SKLMN = a² = 9/8.


Ответ

1,125.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .