ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66006
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан многочлен  f(x) = x4 + ax³ + bx² + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x1 + x2 = x3 + x4,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.


Решение

  Первый способ. Пусть  x1 + x2 = x3 + x4 = m.  Тогда  f(x) – 1 = (x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4) = (x² – mx + x1x2)(x² – mx + x3x4).
  Уравнение  f(x) = 2  можно записать в виде  (x² – mx + x1x2)(x² – mx + x3x4) = 1.   Сделав замену  y = x² – mx,  получим уравнение
(y + x1x2)(y + x3x4) = 1.  Так как уравнение  f(x) = 2  имеет четыре корня, то это уравнение должно иметь два корня y1 и y2. При этом, два корня уравнения  f(x) = 2  будут являться решениями уравнения x² – mx = y1,  а еще два – решениями уравнения  x² – mx = y2.  Но в каждом из этих уравнений сумма корней равна m, поэтому для четырёх корней уравнения  f(x) = 2  выполняется требуемое равенство.

  Второй способ. Пусть  ½ (x1 + x2) = ½ (x3 + x4) = n.  Рассмотрим многочлен  g(x) = f(x + n),  тогда корнями уравнения  g(x) = 1  будут являться числа
αi = xin,  i = 1, 2, 3, 4.  При этом,  α1 + α2 = α3 + α4 = 0,  то есть эти числа попарно противоположны. Значит, функция
g(x) = (x – α1)(x – α2)(x – α3)(x – α4) = (x – α1)(x + α1)(x – α3)(x + α3) =   является чётной. Следовательно, корни уравнения  g(x) = 2  также попарно противоположны.
  Корни уравнения  f(x) = 2  получатся из соответствующих корней уравнения  g(x) = 2  прибавлением числа n, поэтому они будут обладать требуемым свойством.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .