Задача 66009

Темы:    [ Иррациональные уравнения ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Решите уравнение  f(f(x)) = f(x),  если  

Решение

Заметим, что  f(1) = 1  и  f(f(1)) = 1,  то есть  x = 1  – корень заданного уравнения. Функция  f(x) – убывающая, значит, функция  f(f(x)) – возрастающая. Следовательно, уравнение  f(f(x)) = f(x)  имеет не более одного корня, то есть других корней, кроме  x = 1,  нет.

Ответ

x = 1.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.1