|
|
 |
Условие
Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?
Решение
Пусть такой треугольник существует.
Первый способ. Тогда (x + y)(y + z)(z + x) = x²(y + z) + y²(x + z) + z²(x + y) + 2xyz > x²·x + y²·y + z²·z согласно неравенству треугольника.
Второй способ. Отметим точки касания его сторон со вписанной окружностью. Пусть отрезки касательных от вершин до этих точек точек касания равны a, b и c, тогда x = b + c, y = a + c и z = a + b. Имеем
(x + y)(y + z)(z + x) = (a + 2b + c)(a + b + 2c)(2a + b + c) = 2(a³ + b³ + c³) + 7(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²) + 16abc,
а x³ + y³ + z³ = (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ = 2(a³ + b³ + c³) + 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²), что, очевидно, меньше. Противоречие.
Ответ
Не существует.
Замечания
Существуют три положительных числа x, y, z (например, ), для которых равенство из условия выполнено. Таким образом, то, что числа являются длинами сторон треугольника, существенно.
