ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66016
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?


Решение

  Оценка. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и
50 – x  рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны  50 – x  иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна, в таблице стоит хотя бы  x² + (50 – x)² = 2(x – 25)² + 2·25² ≥ 2·25² = 1250  иррациональных чисел. Значит, рациональных чисел не более  2500 – 1250 = 1250.
  Пример, когда рациональных чисел в таблице ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны стоят числа  1, 2, ..., 24, 25,    а вдоль верхней – числа  26, 27, ..., 49, 50,    Тогда иррациональными будут только  2·25² = 1250  сумм рационального и иррационального чисел.


Ответ

1250 сумм.

Замечания

Ср. с задачей 66022.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .