ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66019
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.


Решение

  Так как четырёхугольник AICP вписанный, то  ∠DCI = ∠PCI = ∠BAI  (см. рис.). Центр I вписанной окружности четырёхугольника лежит на биссектрисах его углов, поэтому  ∠DAI = ∠BAI = ∠DCI = ∠BCI,  а значит,  ∠QAI = ∠BCI = 180° – ∠QCI.

  Следовательно, точка Q лежит на окружности ω, проходящей через точки A, I и C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .