ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66029
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.


Решение

Так как четырёхугольник ABCQ вписан и  AC || DE,  то  ∠BEX = ∠C = ∠BQA = ∠BQX.  Следовательно, четырёхугольник XBEQ вписан, откуда
XBQ = ∠XEQ = ∠DEQ.  Аналогично  ∠PBY = ∠PDE.  Значит,  180° = ∠PDE + ∠DEQ = ∠XBQ + ∠PBY = ∠XBY + ∠PBQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .