Задача 66046

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы:

Условие

Автор: Семенов Е.

В одном пакетике два пирожка с капустой, в другом два с вишней, в третьем – один с капустой и один с вишней. Выглядят и весят пирожки одинаково, так что неизвестно, какой с чем. Внуку в школу нужно дать один пирожок. Бабушка хочет дать пирожок с вишней, но она сама запуталась в своих пирожках и определить начинку может, только надломив пирожок. Надломленный пирожок внук не хочет, он хочет целый.
  а) Покажите, что бабушка может действовать так, что вероятность дать внуку целый пирожок с вишней будет равна ⅔.
  б) Существует ли стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше чем ⅔?

Решение

  а) Пусть бабушка надломит случайный пирожок. Если он с капустой, то нужно дать внуку любой пирожок из любого другого пакетика. Если надломленный пирожок с вишней, то дать внуку второй пирожок из этого же пакетика.   Обозначим пакетики КК, КВ и ВВ в соответствии с их содержимым. Надломленный пирожок может оказаться с капустой из пакетика КК (вероятность ⅓), либо это может быть пирожок с капустой из пакетика КВ (вероятность ⅙). В первом случае любой другой пирожок будет с вишней с вероятностью ¾, а во втором случае – с вероятностью ½.
  Надломленный пирожок может оказаться с вишней либо из пакетика ВВ (вероятность ⅓), либо из пакетика КВ (вероятность ⅙). В первом случае второй пирожок из того же пакетика окажется с вишней с вероятностью 1, во втором – с вероятностью 0. Полная вероятность того, что внук получит пирожок с вишней, равна  ⅓·¾ + ⅙·½ + ⅓·1 + ⅙·0 = ⅔.

  б) Пусть бабушка надламывает по одному случайному пирожку из каждого пакетика по очереди. Как только будет надломлен пирожок с вишней из какого-то пакетика, нужно дать внуку второй пирожок из этого же пакетика.
  Пирожок с капустой внук получит только в одном из двух случаев: либо бабушка открыла пакетик ВК и надломила пирожок В (вероятность  ⅓·½ = ⅙),  либо бабушка открыла пакетик КК, надломила один из пирожков, потом взяла пакетик ВК и надломила пирожок В (вероятность  ⅓·½·½ = ¹/₁₂).  Значит, внук получит пирожок с капустой с вероятностью  ⅙ + ¹/₁₂ = ¼,  а с вишней – с вероятностью  ¾ > ⅔.

Ответ

б) Существует.

Замечания

1. Недостаток этого метода – риск переломать половину пирожков. Нам не известна стратегия, дающая вероятность выше ¾.

2. Баллы: 1 + 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2017
тур
задача
Номер	6