ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66073
Темы:    [ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?


Решение

  Оценка. Предположим, что положительных чисел было не более 33. Отрицательные числа в произведении могут образовываться, только если один из сомножителей положительный, причём каждое положительное число может участвовать не более чем в двух таких произведениях. Следовательно, отрицательных чисел не более 66. Но тогда всего чисел не более 99. Противоречие.
  Пример для 34 положительных чисел. Расставим знаки следующим образом:

(сначала +, потом 33 группы + – –, считая против часовой стрелки). Тут одна пара соседних положительных чисел и 33 пары соседних отрицательных – они и дадут 34 положительных произведения; остальные произведения будут отрицательными.


Ответ

34 числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 8
1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .