|
|
 |
Условие
Все натуральные числа, бóльшие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма каждых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произведение каждых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017?
Решение
Заметим, что если число bn синего цвета, то число b тоже синее. Так как 1024 = 210, то число 2 синее. Отсюда следует, что все чётные числа синие, а также то, что если число a > 4 – красное, то a – 2 – тоже красное.
Рассмотрим произвольное красное число k. Тогда и любая степень k тоже красная. Так как k > 2, то существует степень k, которая превосходит 2017. Вычитая нужное количество двоек получим, что 2017 – красное число.
Ответ
Красного.
Замечания
Описанная ситуация возможна. Например, покрасим все чётные числа в синий цвет, а нечётные – в красный.
