ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66089
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.


Решение

  Заметим, что и до, и после перестановки цифр число делится на 10 и поэтому должно оканчиваться на 0. Покажем, что нет трёхзначных чисел, обладающих описанным в условии свойством. Действительно, если  100a + 10b = 80k  и  100b + 10a = 80l,  a < b,  то цифры a и b чётны, причём  90(b – a) = 80(l – k),  поэтому  b – a  делится на 8. Это возможно только при  b = 8,  a = 0,  но 0 не может быть первой цифрой числа.
  Попробуем найти требуемое число среди четырёхзначных чисел, начинающихся с 1, то есть чисел вида  1000 + 100a + 10b,  a < b.  Если поменять местами цифры 1 и b, то полученное число не будет делиться на 80. Если переставить цифры a и b, то аналогично рассуждению для трёхзначных чисел получаем единственный вариант  b = 8,  a = 0,  но число 1080 не кратно 80. Значит, может подойти только число, в котором переставлены цифры 1 и a, где  a > 1.  В этом случае  900(a – 1) = 80m,  45(a – 1) = 4m.  Значит,  a – 1  делится на 4, откуда  a = 5 или 9.  Уже при  a = 5  и  b = 2  получаем число 1520 = 19·80, удовлетворяющее условию:   5120 = 64·80.


Ответ

1520.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .